温度差のある平板の熱応力について超分かりやすく解説してみる | しゃる日記
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温度差のある平板の熱応力について超分かりやすく解説してみる

大学で材料力学を学んでいると出てくるのが熱応力。

ただ、熱応力の内容って参考書を読んでみても見開き1ページくらいしか書いてなくて、あまり詳しく勉強することってないんですよね。

ここでは温度差のある平板を例に熱応力について考えていきましょう!

温度差のある2つの平板

下の図のように温度\(T_h\)の高温板と温度\(T_c\)の低温板が接合された例を考えてみましょう。

簡単のため板の材料や断面積は同じとし、ヤング率や線膨張係数などの材料特性は同じとします。

材料は高温になると伸びる性質があるので高温板は伸び、接合されている低温板もそれにつられて伸びるという状況です。

しかし高温板は本来は\(λ_h\)まで伸びたいのにあまり伸びない低温板に拘束されているので\(δ_h\)分縮み、逆に低温板はあまり伸びないので本来なら\(λ_c\)までしか伸びないですが、高温板に強制的に\(δ_c\)分伸ばされます。

このような状況において2つの板は思い通りに伸びることができず、熱応力が生じることになるんです。

このような2つの熱応力が働くと下の図のように板が曲がってしまうような変形をすることがイメージ出来るでしょうか?

接合部の上側が縮み、下側が伸ばされるのでこのような曲がる変形をしてしまうということなんですね。

しゃる

じゃあ次は具体的にどのような熱応力が生じているのか求めていくよ!

熱応力を計算してみよう

ここからは熱応力の具体的な値を求めていきましょう。

まず、熱応力の定義式はこのように表されるのでした。

熱応力の定義式

\[σ=αEΔT\]

ただし\(α\)は線膨張係数、\(E\)はヤング率、\(ΔT\)は温度差

この式は1枚の板にかかる熱応力の定義式です。

今2つの板が接合された状態なのでこの式をそのまま適応することは出来ませんが、この式から板の伸び量を計算することは出来ます。

伸び量は板のひずみに元の長さをかけたものなので以下のような式で表されることになります。

板の伸び量

\(σ\)をヤング率\(E\)で割り(フックの法則)、元の長さ\(L\)をかける

\[λ=LαΔT\]

この式を今回の例に当てはめてみましょう!

今高温板は拘束がなければ\(λ_h\)伸び、低温板は拘束がなければ\(λ_c\)伸びます。

また、2枚の板の伸び縮みの関係を式にすれば以下の3式が導かれます。

\[
\left\{\begin{align}
λ_h & = & Lα(T_h-T_0) \\
λ_c & = & Lα(T_c-T_0) \\
λ_h-δ_h & = & λ_c+δ_c
\end{align}\right.
\]

ただし基準温度は\(T_0\)としています。

しゃる

最初の2式が熱応力による伸び縮み、最後の式が図の伸び縮みの関係を表しているよ

ここで高温板にかかる内力を\(F_h\)、低温板にかかる内力を\(F_c\)とすると、内力は断面積×応力なので以下の2つの式が出てきますね。

\[
\left\{\begin{align}
F_h & = & Aσ_h \\
F_c & = & Aσ_c \\
\end{align}\right.
\]

この2式を少し変形していきます。

今2枚の板は内力によってそれぞれ伸び縮み\(δ_h\),\(δ_c\)を生じています。

この値にヤング率と断面積をかけてあげると内力になるので、2式はこのように変形できますね。

\[
\left\{\begin{align}
δ_h & = & LF_h/EA \\
δ_c & = & LF_c/EA \\
\end{align}\right.
\]

また、力の釣り合いより

\[F_h=F_c\]

となります。

これで熱応力を求める準備が出来ました!

ここからは今までの式たちを使って熱応力を表していきます。

しゃる

熱応力が求まったね!

これで高温板の接合部には\(σ_h=Eα(T_h-T_c)/2\)の圧縮応力が、低温板野接合部には\(σ_c=Eα(T_h-T_c)/2\)の引張応力が生じているということが分かりました。

この熱応力によって2枚の板は曲がり変形を起こしていたんですね。

曲がり変形を小さくするには?

さて、熱応力は先程求めることが出来ましたが熱応力が加わることによって材料が曲がってしまうことも分かりました。

しかし物を作る上で曲がってしまうというのは良いことではありません。

出来るならこのような変形はなるべく小さくしたいですよね。

先程求めた式を眺めてみると、熱応力を小さくするには以下のパラメーターを小さくする必要があります。

  • ヤング率\(E\)
  • 線膨張係数\(α\)
  • 板の温度差\(T_h-T_c\)

ヤング率や線膨張係数は材料に依存した値なので材料を変えるしかありませんね。

あとは温度差ですが、こちらは設計を変更するなどして小さくことも出来るし、冷却用の風を当てたり耐熱コーティングをするなどの処置を取ることも出来ます。

いずれにしても熱応力は材料の強度に影響してくるので、できるだけ小さく出来るような処置をしたいところですね。