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【画像16枚あり】テイラー展開の公式と意味を超わかりやすく解説してみる


どうも! 暗記が大嫌いなしゃるです。

僕が数学の勉強をしていて一番嫌なことが公式を暗記すること。

式の意味もわからないままとにかく問題を解くために公式を暗記するという作業が大嫌いなのです。

どうせなら式の意味を理解したうえで覚えたい。

僕が大学の数学を勉強し始めて最初につまずいたのがテイラー展開なんです。

しゃる

なんだこの多項式、、?どうなっとるんや?

しかも先生は「これは公式だから覚えましょう!」とか言うので、「んなこと言われても意味が分かんなきゃ覚えられないでしょ。」と一人もやもやしてました。(笑)

ということで同じ悩みを抱えている人に少しでもわかりやすくテイラー展開を理解してもらえるよう解説してみたいと思います!!

式の羅列で埋もれてしまわないように図もたくさん使いながら解説します。

今回かなり頑張って書きました。

そもそもテイラー展開ってなに?

いきなり式の導出から入るのではなく、まずはテイラー展開がどういうものなのか、どうして大切なのか、についてお話しようと思います。

式を覚える前に式の意味を理解しておくとその後の理解がスムーズにいくはず。

テイラー展開とは与えられた関数をある点の近くで多項式に近似するために用いられるもの

ある点の近くで多項式に近似するとはどういうことなのでしょうか?

下の図を見てください。
図28
ある関数f(x)についてテイラー展開を用いてxの多項式で近似することを考えます。

テイラー展開の意味としてはxがある値aをとる時にf(x)がaの近くでこのような多項式で近似できるよ!ということなんです。

もっとかみ砕いて言うと、f(x)という関数全体をxの多項式で近似することはできないけれど、ある値aの近くだったら関数f(x)はテイラー展開を使った多項式で近似できるよ!ということ。

これがテイラー展開なんです。

どうしてこのように近似できるのかは後で説明しますのでとりあえずテイラー展開は近似するために使われるんだな、くらいで考えてください。

なんでテイラー展開を使うの?

テイラー展開がどういうものかはなんとなく分かったけど、どうしてテイラー展開を使うの?

確かにどうして近似する必要があるかは気になるところですよね。

わざわざ近似するからには何か理由があるはずです。

ではその理由とは何か?

それは単純に計算がラクになるからなんです。

例えば次の計算をしたいとしましょう。

(1.005)¹⁵を計算せよ。

見ただけでめんどくさい感満載の式ですね。

1.005の15乗なんて手で計算してたら日が暮れちゃいます。

あ、電卓は使わないでくださいね(笑)

何かいい方法はないかなぁと考えた時にテイラー展開が使えるんです!図29


ここではテイラー展開の一次近似のみを使って計算してみましょう!

一次近似とは多項式のxの一次の項までを使って近似をすることです。

それではやってみましょう。

まずは1.005を1と0.005に分けます。

そして0.005をxと置いちゃいます。

xの式に一旦変換したのはテイラー展開を使うための準備みたいなものだと考えてください。
図30

では実際に計算してみましょう!

先ほどテイラー展開を使って(1+x)の15乗を簡単な式に変換しました。

そしてa=0としてみると、、
図31
いかがでしょうか?

すごくめんどくさそうな計算もこのように近似を使うことで簡単に求めることができました!

ただ最後に=を使わずにニアリーイコールを使っているのはあくまで近似なので完全に正しい値ではないということなんですね。

しかしおおよその値はテイラー展開を使って求めることができるんです!

実際に電卓で(1.005)の15乗を計算してみると1.07768…という値になります。

テイラー展開でかなり近い値を得ることができるのがわかりますね!

テイラー展開はこのような具体的な数字の計算以外でも様々な場面で使われます。

例えば文字式の計算をするときにsinθという関数が出てきたとしましょう。

当然sinθという関数をこのまま使ってもいいんですが、θがとても小さい値の時にはこれをテイラー展開してもっと簡単な形にすることが出来るんです。

sinθはテイラー展開するとθに近似できます。

他にもtanθはθに、cosθは1に近似することが出来ます。

複雑な三角関数もテイラー展開を使えば角度だけの関数に置き換えることが出来るのでより扱いやすくなるんです!

このテイラー展開を使って近似する計算手法は物理や数学の様々な場面で登場してくるので、慣れておきましょう。

どうしてこんな式になるの?

ここまでテイラー展開がどういうものか、なぜ必要なのかをお話してきました。

さて、ではなぜテイラー展開がこのような式になるのか見ていきましょう!

テイラー展開の式は以下の式で表されるのでした。
図43

一見複雑そうに見える式ですがどのように導出されるのでしょうか?

丁寧に見ていきましょう。

出発点は接線の公式から

みなさん曲線の接線を求める公式は覚えているでしょうか?

高校の微分積分の時間に習ったと思いますが、このような式で表されるのでした。
図33

この式は見慣れている方も多いと思いますが、実はこの式は曲線f(x)の式を一次近似したものになっているんです。

一次近似とは関数f(x)をxの一次の関数で近似するということです。

実際この接線の式は曲線の式とは形が全然違うけれど、x=aの付近では見分けがつかないくらいに似ていますよね。
図34

しゃる

じゃあ、もっとxの次数を上げればさらに精度のいい近似ができるんじゃないの?

これがテイラー展開の考え方なんです!

ということでこの接線の式にさらにxの二次の項を追加してみましょう。

関数f(x)の二次近似を求めていきます。
図35

MEMO
ここで定数kを付けたのはまだどのような係数をとるかわからないためです。またx=a付近での近似を考えているので二次の項は(x-a)の二乗としました。

このkの値を求めることが出来れば関数f(x)の二次近似は完成です。

では、kがどのような値になるのか求めていきましょう。

kを求めるためにさっきの式をxで微分していきます。
図36

かなり簡単な式になりました!

さて、ここでxにaを代入してみましょう。
図37
先ほどの一次近似にさらに二次の項が追加されましたね。

これでより精度の高い近似式を求めることが出来ました!

実際に使われるテイラー展開は一次や二次近似までのことが多いです。

今回はテイラー展開の導出をするのでより高い次数まで近似していきます。

では、さらに精度の高い近似式にするためにxの三次の項を追加して同様に計算していきましょう。

先ほどと同じように定数kを使ってxの三次の項を追加し、微分を使いながらkの値を求めていきます。

図38
先ほど二次の項の係数を求めたのと同じように計算していくので途中過程は省略すると最終的に次のような式になります。

図39
これでもともとの曲線f(x)をxの三次式の精度で近似することができました!

ここまでくればテイラー展開の公式まであと一歩です!

いよいよテイラー展開の式を導出していきましょう。

いよいよテイラー展開の式へ

ここで今までの話の流れを振り返ってみましょう。

まず関数f(x)を何かxの多項式で近似したいというところから話は始まりました。

そして高校数学で習った曲線の接線近似から入り、より精度のいい近似をするためにさらに次数を増やしていきました。

40図
ここまでかなり精度のいい近似式を求めてきました。

ではもっと近似の精度を上げるためにさらにxの次数を上げてみましょう。

先ほどからやっているような定数kを求める計算を繰り返していき、次々に次数を上げていくと最終的に次のような式になります。
図41

これでようやくテイラー展開の式を求めることが出来ました!!

やー、長かった。。

でもここまでくると式の見え方も変わったのではないでしょうか?

改めてテイラー展開式を見てみると、曲線の接線近似の式に精度を上げるための高次項が次々に足されているという見方ができますね。

一見するとかなり複雑な式に見えますが、各項には規則性もちゃんとあるので覚えやすいしシグマの記号を使っても表現することができます。

特にa=0の時のテイラー展開の式はマクローリン展開と呼ばれています。

テイラー展開とマクローリン展開は親子関係にあるということですね。
図42
こちらの式もよく使うので覚えておいて損はないです!

ちなみに今は実数を扱った実関数に対してテイラー展開を行っていますが、実は複素数を扱う複素関数でもテイラー展開を行うことができます。

内容的には応用なので少し難しいと思いますが、興味のある方はそちらも調べてみると面白いと思いますよ!

テイラー展開の具体例

ここまでテイラー展開の意味から導出まで見てきましたが、ここからはよく使われるテイラー展開の例を紹介しておきます。

紹介するのはe^xとsin(x)とcos(x)のテイラー展開。

大学の授業でもバンバン使うものばかりなので暗記しておくことをお勧めします!
キャプチャ85

さいごに

いかかでしたでしょうか?

テイラー展開がどのようなものなのか、なぜ必要なのか、どのように導出されるのかについて図もたくさん使いながら説明してきました。

始めは数式の羅列にしか見えなかったテイラー展開の式も今では少し見え方が変わったのではないでしょうか?
図43

式の意味を理解することでより公式は覚えやすくなると思うし、自分で使いこなすことができるようになると思います。

テイラー展開は僕のような機械系大学生のみならず、理系なら必ずと言っていいほど勉強することなのでしっかり学んでおいて損はないはず!

この記事が皆さんの理解の手助けとなればうれしいです。

最後まで読んでいただきありがとうございました!

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